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0 引言
动态定价是提高零售商利润的重要手段。零售商可以通过对价格的调整来吸引顾客购买产品，这种动态价格调整方式对于增加供应链的利润非常有效[1]。据报道，由于降价因素的影响，全球最大的零售商沃尔玛在感恩节和圣诞节之后的销售量占到全年销售量的近20%；由于多家商家的打折销售，2013年中国最大的电子商务平台淘宝网在“双十一”期间的销售额高达350亿元。零售商的降价策略在增加企业利润方面已经被证明比单一定价策略更有效。但是这种价格调整行为容易将顾客训练成具有战略性的或者惰性的。其中顾客的战略性购买行为是指顾客会在立即购买和延迟购买之间做出选择，通过比较不同时间购买时获得的期望效用而确定最优购买时机；而顾客的惰性购买行为是指即使立即购买对于顾客而言是最优的，但是顾客仍然愿意等待。顾客的战略购买行为和惰性购买行为的存在对于零售商的期望利润会生产直接的影响，因此研究顾客策略行为和惰性行为下的定价与存货决策具有重要的理论意义与实际价值。
近年来，一些文献开始在供应链管理中引入了顾客的战略行为。文献[2]最先将战略顾客行为引入到报童模型中，研究了理性预期均衡时零售商的最优定价决策和库存决策；文献[3]研究了同时存在短视顾客，折价搜索顾客和战略顾客时零售商的最优动态定价策略；文献[4]在面对战略顾客的标准报童模型中研究了承诺和可得性保证的价值；文献[5]分析了战略顾客行为对供应链系统订货量及系统总收益的影响；文献[6]研究了考虑零售商的缺货成本和战略顾客的后悔效用时，战略顾客行为对供应链的最优决策以及供应链性能的影响；文献[7]对收益管理和拍卖机制设计中的顾客行为建模进行了综述。
在实际中，由于战略顾客知道存在等到产品清仓处理时再购买到产品的可能性，所以战略顾客在确定最优购买时机时会比较提前时获得的效用与延迟购买时获得的期望效用，但是也会存在顾客在本应该立即购买时仍然会选择等待的情形，文献[8]将这种顾客倾向于延迟购买的行为称为顾客惰性，他们假定零售商在两个销售时域内销售固定的容量，并且市场中同时存在数量不确定的理性和惰性顾客，研究表明，顾客惰性对于零售商的期望利润同时存在两种作用，顾客惰性会减少第一阶段的需求，但是会加剧第二阶段顾客之间的竞争；文献[9]在动态定价的模型框架下考虑了文献[8]提出的顾客惰性，他们研究了一个垄断企业销售一种易腐物品，其中顾客存在购买惰性，他们使用有限周期的动态规划模型对该问题建模并得到了最优定价策略，研究表明顾客惰性对企业的期望收入和最优价格有负效应，两者都随着顾客惰性的深度和广度的增大而减少；文献[10]在无理由退货策略中考虑了顾客惰性，研究发现存在顾客惰性时，与只考虑理性顾客的无理由退货策略相比，顾客惰性在一定程度上会对销量产生负影响，但在相同环境下却能为企业带来更多的利润。
本文研究了当市场中的顾客存在惰性行为时的供应链的定价与存货决策问题。不同于文献只考了顾客的战略行为，本文进一步考虑了顾客的惰性行为；不同于文献[8]只考虑了顾客的惰性，本文综合利用理性预期均衡分析[11]，得到了考虑顾客惰性时的理性预期均衡解，并且分别比较了零售商在不考虑战略顾客行为时的最优定价与存货数量、考虑战略顾客行为时的最优定价与存货数量，以及考虑顾客惰性时的最优定价与存货数量。分析了顾客惰性的存在对于零售商利润的影响，并进一步分析了触发惰性顾客提前购买的效用值对理性预期均衡时零售商的最优定价与存货数量的影响。
1 问题背景与基本模型
1.1 问题背景 研究由单供应商和单零售商组成的两级供应链，假定市场是由同类型的顾客群体所组成的。假定供应商的单位生产成本是c，单位产品的批发价格是？棕，单位产品的销售价格是p，在销售期末多余的产品由零售商以价格为v清仓处理，单位产品的缺货成本为g，假定00，则表明需求具有IGFR性质[12]。定义F-1（x）表示F（x）的反函数，■（x）=1-F（x）。
1.2 顾客战略行为下的基本模型 当顾客存在战略行为时，顾客在决定最优购买实际时将考虑等待产品清仓处理时购买到产品的可能性。此时，战略顾客可以选择立即购买和延迟购买，但是延迟购买时顾客将会面临缺货的风险。假定零售商的存货数量对于战略顾客而言是不可观察的，在这实际中是合理的，因为零售商通常没有太多途径了解供应商的订货决策。所以，战略顾客需要对产品的可获得性做出估计，假定战略顾客对在清仓处理阶段购买到产品的可能性估计为？孜prob，战略顾客也有1-？孜prob的可能性由于缺货没有购买到产品。
战略顾客的期望剩余可以表示为max{u-p，（u-v）？孜prob}[2]，给定战略顾客在清仓处理阶段购买到产品的可能性估计？孜prob，战略顾客的心理预留价格rs（？孜prob）=u-（u-v）？孜prob。由于零售商不清楚战略顾客的心理预留价格，因此零售商也必须对战略顾客的心理预留价格做出相应的估计。假定零售商对战略顾客的心理预留价格的估计值为？孜r，零售商总是希望战略顾客以价格p立即购买，因为这样可以增加零售商的期望销售利润。给定零售商对于战略顾客的心理预留价格的估计rs，战略顾客在清仓处理阶段获得产品的可能性为？孜r，零售商的定价决策p=？孜r，零售商的期望利润函数可以表示为：
？仔s（p，Q）=（p-v）E[min（D，Q）]-（c-v）Q-gE（D-Q）+（1）
其中下标s表示战略顾客。容易证明？仔s（p，Q）是关于存货数量Q的严格凹函数，存在唯一的最大值点。
为了求解零售商的最优决策，首先给出理性预期均衡的定义。
定义1[2] 当市场中只存在战略顾客时，零售商和战略顾客之间博弈的理性预期均衡解（ps，Qs，rs，？孜prob，？孜s）必须满 足如下条件：①rs=u-（u-v）？孜prob；②ps=？孜s；③Qs=arg maxQ ？仔s（p，Q）；④？孜prob=F（Qs）；⑤？孜s=rs。
对于上述问题的理性预期均衡解，有如下的命题1成立：
命题1 [6] 当市场中只存在战略顾客时，理性预期均衡时零售商的最优存货数量和最优销售价格分别为：
Qs=■-1■，
ps=v+■（■-g）。
2 顾客惰性下的定价与存货决策
当市场中存在惰性顾客时，惰性顾客知道存在未来产品降价时购买到产品的机会，他们也会在立即购买和延迟购买之间做出选择。但是与战略顾客所不同的，惰性顾客存在延迟购买的惰性心理：即使当立即购买和延迟产生的效用相同时，他们会选择延迟购买，而只有当顾客立即购买时获得的效用超过了延迟购买时获得的效用一定数量时，惰性顾客才会选择立即购买。假定触发惰性顾客提前购买的效用值为？祝，惰性顾客立即购买产品时获得的效用为u-p，延迟购买时获得的效用为（u-v）？灼prob，则惰性顾客提前购买的条件为[8]：（u-p）？叟？祝+（u-v）？灼prob（2）
式（2）的左边表示惰性顾客立即购买时获得的效用，右边表示惰性顾客延迟购买时获得的期望效用。只有当立即购买时获得的效用超过延迟购买时获得的期望效用？祝单位时，惰性顾客才会立即购买。
由（2）式可得惰性顾客愿意立即购买时的心理预留价格为：r（？灼prob）=（u-？祝）-（u-v）？灼prob（3）
由于零售商不知道惰性顾客的心理预留价格，因此零售商也必须对惰性顾客的心理预留价格做出估计，假定零售商对惰性顾客的心理预留价格的估计值为？灼r，零售商希望惰性顾客以价格p立即购买，这样可以增加零售商的期望利润。惰性顾客的决策是确定购买时机：立即购买或者延迟购买；零售商确定销售价格p和存货数量Q。
当零售商预估到惰性顾客的心理预留价格ri，且所有的惰性顾客都预估到在清仓处理阶段获得产品的可能性为？孜r时，零售商的定价决策p=？孜r，零售商的存货决策可以表示为：
Qi∈arg maxQ？仔i（p，Q）=arg maxQ{[（p-v）E[min（D，Q）]-（c-v）Q-gE（D-Q）+}（4）
其中下标i表示惰性顾客。当市场中存在惰性顾客时的理性预期均衡解必须满足如下的条件。
命题2 当市场中只存在惰性顾客时，理性预期均衡时零售商的最优存货数量和最优销售价格分别为：
Qi=■-1■，
pi=v+■（■-（g-？祝））。
比较命题2和命题1的结论可以发现，触发惰性顾客提前购买的效用值？祝会减少单位缺货成本的影响，当？祝=g时，由命题2可得，理性预期均衡时零售商的最优订货数量为■-1（■），最优销售价格为v+■，与文献[2]的结果一致，表明如果惰性顾客提前购买的触发效用值？祝等于零售商的单位缺货成本g，那么当市场中存在战略顾客、且零售商不考虑缺货成本时，理性预期均衡条件下零售商最优订货数量和最优销售价格，等价于当市场中存在惰性顾客且零售商考虑缺货成本时理性预期均衡条件下零售商最优订货数量和最优销售价格。换而言之，惰性顾客提前购买的触发效用值？祝一定程度上可以减少零售商的缺货成本对于均衡价格和均衡数量的影响。进一步分析可以发现，当？祝=0时，命题2的结论简化为命题1的结论。所以命题1的结果可以看作是命题2的结论在？祝=0时的特例，而文献[2]中的结果可以看作是命题2的结果在？祝=g时的特例。
比较上述两种不同类型顾客条件下报童模型的定价、订货数量以及最优利润，有如下命题3。
命题3 ①ps？燮pi；②Qi？燮Qs；③？仔i（Qi）？叟？仔s（Qs）-？祝E min（D，Qs）。
证明：①由假设条件u>c>v，可得
ps-pi=■-
■？燮0。
②■（Qi）-■（Qs）=■-
■？叟0，
又因为■（x）是关于x的减函数，所以Qi？燮Qs，当且仅当？祝=0时等式成立。
③因为只存在战略顾客和只存在惰性顾客时零售商的利润函数分别为：
？仔s（Qs）=[（u-v）■（Qs）+g]E min（D，Qs）-（c-v）Qs，
？仔i（Qi）=[（u-v）■（Qi）+g-？祝]E min（D，Qi）-（c-v）Qi，
令？椎（x）=[（u-v）■（x）+g-？祝]E min（D，x）-（c-v）x，则？椎′（x）=■（x）？渍（x），其中：
？渍（x）=-（u-v）■E min（D，x）+[（u-v）■（x）+g-？祝]-■
容易验证？渍（x）是关于x的减函数，并且limx→0？渍（x）=u-c+g-？祝>0，limx→∞ ？渍（x）=-（c-v）<0，所以？椎（x）是关于x的拟凹函数并且只存在唯一的最大值点，令？椎′（■）=0，其中■表示函数？椎（x）的最大值点。又因为在Q=Qs和Q=Qi处，函数？椎（x）的一阶导数为：
？椎′（Qs）=-（u-v）f（Qs）E min（D，Qs）-？祝■（Qs）+[（u-v）■（Qs）+g]■（Qs）-（c-v）
=-（u-v）f（Qs）E min（D，Qs）-？祝■（Qs）<0
？椎′（Qi）=-（u-v）f（Qi）E min（D，Qi）+[（u-v）■（Qi）+g-？祝■（Qi）-（c-v）]
=-（u-v）f（Qi）E min（D，Qi）<0
由前面的分析可知，？椎（x）先增加而减小，所以■？椎（Qi）？叟？椎（Qs）。又因为？椎（Qi）=？仔i（Qi），？椎（Qs）=？仔s（Qs）-？祝E min（D，Qs），所以？仔i（Qi）？叟？仔s（Qs）-？祝E min（D，Qs）。
命题3中的①表明，对于战略顾客和惰性顾客而言，零售商的最优销售价格都低于零售商对短视顾客的最优销售价格，表明顾客的战略行为和惰性行为减少了零售商的边际利润。同时由于顾客的惰性的存在，零售商对惰性顾客确定的零售价格也高于零售商对于战略顾客确定的零售价格，表明顾客的惰性行为一定程度上增加了零售商的边际利润。命题3中的②表明，对于战略顾客和惰性顾客而言，零售商的最优存货数量都低于零售商对短视顾客的最优存货价格，表明顾客的战略行为和惰性行为降低了零售商的最优存货数量。同时由于顾客惰性的存在，零售商对惰性顾客确定的存货数量也低于零售商对于战略顾客确定的存货数量，表明顾客的惰性行为进一步降低了零售商的最优存货数量。命题3中的③表明，战略顾客行为减少了零售商的最优期望利润。当？祝=0时，零售商在面对惰性顾客时获得的期望利润高于当零售商面对战略顾客时获得的期望利润。当？祝≠0，零售商在面对惰性顾客时获得的期望利润与当零售商面对战略顾客时获得的期望利润的大小关系取决于？祝的大小。
命题4 ①？坠Qi/？坠g>0，？坠Qi/？坠？祝<0；②？坠pi/？坠g<0，？坠pi/？坠？祝>0；③？坠？仔i/？坠？祝<0。
命题4中的①表明了最优存货数量Qi与g和？祝的变化关系：缺货成本g越大，最优存货数量Qi越大；触发惰性顾客提前购买的效用值？祝越大，最优存货数量Qi越小。命题4中的②最优销售价格pi与g和？祝的关系：缺货成本g越大，最优销售价格pi越小；触发惰性顾客提前购买的效用值？祝越大，销售价格pi越大。命题4中的③表明当存在顾客惰性时，触发惰性顾客提前购买的效用值？祝越大，零售商的期望利润越小。
3 算例分析
本节通过一组算例来表明模型的结果。假定模型中的参数取值如下：单位产品对顾客产生的效用u=20，单位产品的生产成本c=6，单位产品在销售期末的处理价格v=2。假定市场需求服从均值为100，标准差为40的正态分布。则当触发惰性顾客提前购买的效用值？祝在区间[0，5]之间变化时，最优存货数量Qi与？祝的关系如图1所示，最优销售价格pi与？祝的关系如图2所示。图3则刻画了零售商的最优期望利润？仔i与？祝和g的关系。
4 结束语
本文研究了当市场中的顾客存在惰性行为时的供应链的定价与存货决策问题。假定市场中的顾客是同质的顾客群体所组成的，顾客在确定最优购买时机时不仅考虑到了在正常销售阶段购买到产品的可能性，同时也会考虑到等待产品降价时再购买产品的可能性，同时在确定最优购买时机时会惰性地选择延迟购买。分别比较了不考虑战略顾客行为时零售商的最优定价与存货数量、考虑战略顾客行为时零售商的最优定价与存货数量，以及考虑顾客惰性时零售商的最优定价与存货数量。研究表明，战略顾客行为的存在降低了零售商的期望利润，而顾客惰性的存在会进一步降低零售商的期望利润。存在顾客惰性时的最优存货数量随着触发惰性顾客提前购买的效用值？祝越大的增大越小，最优销售价格随着触发惰性顾客提前购买的效用值？祝的增大而增大。由于本文研究了市场中只存在惰性顾客时的零售商的最优定价与存货决策，而对于市场中同时存在战略顾客和惰性顾客时的最优定价与存货决策问题则是需要更进一步研究的问题。
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