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摘 要：以汽车前部结构主要板件的厚度为变量，采用最优拉丁超立方试验设计生成１００个样本点并进行计算，对计算结果应用响应面法构建了前部结构的质量、模态和刚度的近似模型。以前部结构的质量最小为目标，以模态、刚度和各部件的厚度为约束，利用粒子群优化算法进行全局优化，最终得到一组前部部件厚度的最优组合。通过所建立的近似模型和有限元模型计算优化后得到的设计变量所对应的的响应值，然后将这两种情况下所得到的响应结果进行比较，可以得知所建立的近似模型符合精度要求。优化结果表明：通过优化前部结构部件的厚度，在满足模态、刚度的前提条件下，减重了１７．７％，实现了轻量化的效果。
关键词：优化；最优拉丁超立方；近似模型；粒子群优化算法；轻量化
中图分类号：ＴＨ１２２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９/ｊ．ｉｓｓｎ．１６６５－２２７２．２０１6．22．００7
汽车的总质量每减轻１０％，可降低６％~８％燃油消耗量。安全法规和乘坐舒适性已经符合的条件下，汽车质量的减轻已经成为目前汽车行业中的研究热点。车身结构是整车结构的重要组成部分，其结构质量占整车总质量的３０％~４０％，故汽车车身的轻量化对整车的质量减轻是一个非常重要的方向和研究内容。将轻量化设计融入到汽车车身结构的开发过程中，可开发出的车身结构具有材料利用率高、受力分布合理均匀，并且能满足良好的刚度性能等特点。通过轻量化的技术，在不影响整车全局性能的条件下，对目前已存有的车型进行优化改进，从而实现最小化汽车车身结构的质量。
以某现有汽车车型的前部结构作为例子，对其运用有限元方法进行数学建模，同时对前部结构的模态和刚度做出评估和分析，在完成以上工作的条件下，取轿车前部机构的主要板件的厚度为变量，采用最优拉丁超立方试验设计生成了１００个样本点，对计算结果应用多项式响应面法构建了前部结构的质量、模态和刚度的近似模型；以前部结构质量最小为目标，以前部结构的模态、刚度为约束，利用粒子群优化算法进行优化，最终得到一组前部板件厚度的最优组合，从而实现轻量化的目标。
１ 多项式响应面
多项式响应面（Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ Ｓｕｒｆａｃｅ，ＰＲＳ）是一种数理统计技术，利用回归分析和方差分析决定设计变量和响应间的关系，并用简单的代数表达式表达出来。采用线性多项式来近似隐式极限状态方程，通过实验设计来确定线性多项式的待定系数，通过迭代来保证线性响应面的失效概率对真实失效概率有一定的近似精度。以二次多项式响应面为例，其数学模型如式（１）。
多项式响应面具有良好的连续性和可导性，其近似模型为一种回归模型，计算简单，给设计优化带来极大的方便。通过回归模型的选择，可以拟合复杂的响应关系，具有良好的鲁棒性。数学理论基础充分扎实，系统性、实用性强，适用范围广，逐步成为复杂工程系统设计的有力工具。
式（1）中，ｘｉ为ｍ维自变量的第ｉ分量β０，βｉ，βｉｉ，βｉｊ为多项式的待定系数。将待定系数按照一定次数排列，可以构成列向量β。利用ｎ个样本点信息，利用最小二乘法求解向量β。
式（2）中：
２ 粒子群优化算法
粒子群优化（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）算法是由Ｅｂｅｒｈａｒｔ和 Ｋｅｎｎｅｄｙ于１９９５年提出的基于群智能的随机优化算法，通过初始化，ＰＳＯ产生一组随机解（随机粒子），然后进行迭代利用粒子在解空间追随最优粒子进行搜索。在ＰＳＯ算法中，对于一个ｄ维问题，将每个粒子的速度和位置作为一种可能的解决方案。粒子通过不断地调整自己的位置Ｘ来搜索新解。每个粒子都能记住自己搜索到的最好解，记作Ｐｉｄ，以及整个粒子群经历过的最好位置，即目前搜索到的最优解，记作Ｐｇｄ。每个粒子都有一个速度，记作Ｖ，速度更新操作为：
式（３）是速度更新公式，由三部分组成：第一部分是惯性因子为ｗ的初始速度，初始速度为穿越设计空间的粒子提供动力并且在优化过程中用来平衡全局和局部的搜索能力；第二部分被称为认知部分，这代表着粒子的个体性能并且激励每个粒子移到它自己先前最优的位置；第三部分被称为社会部分，其代表着粒子之间的合作性能，这部分将使粒子从其他优秀粒子中吸取经验，加强搜索能力。
３ 优化拉丁超立方试验设计
优化拉丁超立方设计方法（Ｏｐｔｉｍａｌ Ｌａｔｉｎ ｈｙｐｅｒｃｕｂｅ ｄｅｓｉｇｎ， ＯｐｔＬＨＤ），是拉丁超立方设计方法的改进方法，能够使样本点尽量分布于设计空间，具有非常好的空间填充性和均衡性，使因子和响应的拟合更加精确真实。图１为两因素两者采样的区别。
４ 计算实例
４．１ 汽车前部结构有限元模型
以某型轿车的前部结构为例，应用有限元法对其建模，在Ｈｙｐｅｒｗｏｒｋｓ前处理软件Ｈｙｐｅｒｍｅｓｈ之中建立其有限元模型，共有１５ ６３３个节点，１５ ０４３个单元。前部结构包括１５个部件，主要是板壳单元，零件间的连接以点焊连接为主（见图２）。
４．２ 设计变量
汽车前部结构共有１５个部件，根据先前所做的经验，些部件是对称的，因此选取其中８个部件的厚度作为设计变量，记为ｔ１－ｔ８（见表１）。
４．３ 目标函数与约束函数
按照轻量化设计的要求，以汽车前部结构的１５个部件的总质量最小为优化目标，对于以刚度和模态为约束条件，优化设计计算是在已建立的有限元模型的前提条件下，通过对相应位移测量点的最大变形量加以限制约束，从而保证汽车前部结构的刚度性能不受影响，并设定一阶模态的频率值不低于相应的初始频率值。对汽车前部各个零部件的厚度进行优化，定义汽车前部结构的优化问题，如式（６）所示。
式（６）中：ｍ（ｔ）－前部结构１５个部件的质量和；ｆ（ｔ）－前部结构模态；ｄ（ｔ）－前部结构刚度测量点的垂向位移；ｔ－设计变量向量，ｔ＝［ｔ１，ｔ２，．．．，ｔ８］Ｔ；ｔＬ，ｔＵ－设计变量的下限和上限。
４．４ 试验设计
试验设计方法（ＤＯＥ，Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ）是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。ｉｓｉｇｈｔ提供了实用性极强的ＤＯＥ模块可以用于辨识关键参数、构建经验公式乃至获得最佳设计。采用最优拉丁超立方方法进行试验设计。优化设计变量共８个，抽取了１００个样本点。以质量、模态、刚度为响应，计算各样本点，得到各样本点响应的数值（见表２）。
４．５ 建立响应面近似模型
近似模型方法（Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌｓ）的基本思想是根据有限的实验数据，构建一个满足精度要求，计算消耗小的数学模型模拟原始问题的输入输出关系。由于具有明确的函数关系，后续的优化工作即可在该模型上继续进行，因而能够降低计算量、加速优化过程。在结构设计中引入近似模型，可以大大加快优化的搜寻速度。通过ｉｓｉｇｈｔ软件进行四阶近似模型拟合，得到各响应与设计变量之间的响应面近似模型（见表３）。近似模型流程如图３所示。
４．６ 近似模型的拟合及模型精度的验证
由于板厚都是在一个比较小的厚度范围内取值，为了提高所建近似模型的可靠性，因此将板厚变量的试验矩阵归一化。用响应面模型拟合与板厚变量的近似模型。用相对误差估计准则来评价响应面模型的精度：
式（7）中：ｙｉ－第ｉ个有限元仿真响应；ｙｉ－第ｉ个近似模型预测值。
再另生成１０个样本点，通过代入到有限元模型中进行计算，将计算出相应的仿真结果列出来，然后再将同样的１０个样本点代入到所拟合的响应面近似模型中，得出相应的近似模型响应预测值，将近似模型的响应预测值同样也列出来，然后将有限元仿真响应结果和响应面响应预测结果代入到相对误差计算公式（７）中，得出各响应的相对误差如表４所示。由表４的结果可知，各响应的相对误差都保持在５％以内。故用１００个样本点拟合出的响应面近似模型符合精度要求，可以用来代替所建立的有限元仿真模型进行优化分析。
随着各种复杂近似建模技术的发展和工程问题的大型化、系统化和复杂化，近似模型的预测精度直接影响多学科最优解的有效性。模型精度越高，基于近似模型的多学科优化最优解的可信度也越高。所以，建立近似模型后需要对近似模型的整体精度进行评价。目前，常用于评估模型拟合精度的指标有均方根误差（Ｒｏｏｔ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｅｒｒｏｒ，ＲＭＳＥ）、确定性系数（Ｒ Ｓｑｕａｒｅ，Ｒ２）、相对平均绝对值误差（Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ａｖｅｒａｇｅ Ａｂｓｏｌｕｔｅ Ｅｒｒｏｒ， ＲＭＡＥ）、相对最大绝对值误差（Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｍａｘｉｍｕｍ Ａｂｓｏｌｕｔｅ Ｅｒｒｏｒ，ＲＭＡＥ）以及利用交叉验证方法计算得到的广义均方根误差（Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｅｒｒｏｒ，ＧＭＳＥ）或预测误差平方和（Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ Ｓｕｍ ｏｆ Ｓｑｕａｒｅｓ，ＰＲＥＳＳ）等（见表５）。
５ 优化设计
根据上面所定义的目标函数和约束条件，采用粒子群优化算法进行优化，得出一组最优板厚变量的组合，将得出的最优板厚变量组合代入到有限元仿真模型中，进行模态和刚度分析，并计算出所对应的最优质量，完成整个轻量化设计的最优计算。优化后的板厚变量组合如表６所示。
5.１ 近似模型拟合效果验证
比较代入有限元仿真模型和响应面近似模型的优化后板厚变量的响应值，并计算出优化后各响应的拟合效果，得出的结果如表７所示。从表７可以看出拟合误差都在±５％以内。
5.２ 优化改进效果验证
比较优化前后的有限元仿真结果，并计算出优化后各响应的改进效果，如表８所示。
从上表的结果可以看出，在不降低前部结构刚度和模态性能的条件下，对前部结构的零件厚度进行了优化，前部结构的质量也明显降低，从而实现了轻量化的目标。
６ 结论
利用近似模型对汽车前部结构进行了优化设计，大大提高了优化的效率。通过采用最优拉丁超立方试验设计方法抽取的样本点建立了响应面近似模型，通过粒子群优化算法进行了计算，得出了汽车前部结构部件厚度的最优组合设计，在不降低模态和刚度性能的前提下，较好地降低了前部结构的质量，从而实现了轻量化的目标。
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